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ㆍ글쓴이  :   이재율 (2005.01.18 - 03:36)
link1  :   http://blog.empas.com/leejaeyul5
  4색 문제 증명 문의 답변
크게 보시려면 클릭~

leejaeyul5@yahoo.co.kr
http://blog.empas.com/leejaeyul5
이재율 (02-882-0830)

다음과 같은 대한 수학회원님의 말씀이 있어서 답변한 글입니다.

증명 내용이 매우 모호합니다 '폐곡선 상의 다른 무수한 점들에, 두 개의 도형 중에서 한 쪽 도형의 내부만을 지나면서, 서로 교차되지 않고 순서대로 연결된 곡선들에 의하여 만들어 지는 모든 도형들은 2가지의 색으로 분별된다. '
라는 말에서 서로 교차되지 않고 순서대로 연결되었고 한쪽 도형의 내부만을 지났다는 것은 무슨 말인지 잘 모르겟습니다.
또 이 무수한 도형들이 전체의 곡면을 양분하고 있는 폐곡선과 접하는 곳에 무수한 점들이 나타나게 되는데, 이 모든 점들을 보조 곡선들로 연장하여 임의의 다른 하나의 점에 연결되도록 하면,  라는 부분에서 보조곡선ㅇ,로 연장한다는 부분도 모호합니다

위에 말씀하신 내용에 대하여 답변을 올립니다.
한 폐곡선 내부의 한 점에서 폐곡선 상의 많은 점들에 점들과 같은 수의 곡선들을 연결하면 같은 수의 도형들이 만들어 집니다. 이 도형들의 수가 짝수이면 2가지의 색으로, 홀수이면 3가지의 색으로 분별이 됩니다. 이 도형들 중에서 한 개의 도형을 빈 공간으로 정하면, 나머지의 도형들은 2가지의 색으로 분별이 됩니다. 이 나머지 도형들의 내용이 제2단계의 내용과 닮은 내용입니다.
두 번째 말씀하신 사항에 대하여 설명 드립니다.
한 폐곡선의 외부에 있는 많은 도형들이 이 폐곡선과 접하는 곳에는 많은 점들이 나타납니다. 이 점들과 폐곡선 내부에 정한 임의의 한 점을 곡선들로 연결하는 것입니다. 그리하면, 이 도형들은 제3단계의 도형들과 같이 한점에서 접하는 도형들이 됨으로서, 3가지의 색으로 분별이 되는 것입니다.
2005.01.17. 이재율 드림.



아래의 4색 문제 증명 내용을 요약합니다.
곡선의 일부를 공유하고 있는 두 도형들은 2가지의 색으로 분별하여야 하지만, 점만을 공유하고 곡선의 일부를 공유하지 아니한 두 도형들은 한 가지의 색으로도 분별이 됩니다.
모든 도형들이 하나의 점에 접하도록, 즉 도형을 만드는 폐곡선들이 하나의 점을 지나도록 그리되, 인접하는 도형들과는 곡선을 공유할 수도 있고, 또는 곡선을 공유하지 아니할 수도 있으며, 도형의 수, 크기, 모양 등에 전혀 제한이 없도록 도형들을 그리면, 이 모든 도형들이 3가지의 색으로 분별이 된다는 내용이 우리 증명의 핵심입니다.
이와 같이 한 개의 점에 접하는 모든 도형들이 3가지의 색으로 분별됨이 증명되어 4색 문제 증명 내용이 완결되는 것입니다.

*******   아래   *******

4색 문제 증명 내용

제1단계 :
하나의 폐곡선이 전체의 곡면을 양분하고 있을 때, 이 들 두 개의 도형은 폐곡선을 공유하고 있으므로, 이 들 두 개의 도형이 분별되기 위하여서는 2가지의 색이 필요하다.
제2단계 :
곡면을 양분하고 있는 한 폐곡선에 한 개의 점을 정하고, 다시 이 폐곡선에 다른 점들을 정하여, 양분된 두 개의 도형 중에서 한 쪽 도형의 내부만을 지나면서, 한 개의 점에서 다른 점들에 연결된 곡선들에 의하여 만들어진 도형들, 즉 양분하는 폐곡선의 일부를 공유하는 모든 도형들은 2가지의 색으로 분별이 된다. 왜냐하면 서로 이웃하지 아니한 도형들은 서로의 폐곡선의 일부도 공유할 수가 없고 단지 폐곡선이 한 점에만 지나기 때문에, 즉 도형들이 한 점에서만 서로 접하기 때문에 같은 색으로 분별이 됨으로, 서로 이웃하는 도형들만 2가지의 색으로 분별하면 되는 것이며, 교대로 반복되면서 분별이 되기 때문이다.
제3단계 :
곡면에 모양, 크기, 수, 상호간 곡선이나 점의 공유 여부에 제한 없이 도형들을 그리되, 이 모든 도형들이 반드시 한 개의 점에 접하도록, 즉 모든 도형들의 폐곡선들이 반드시 한 개의 점을 지나도록 그리게 되면, 이 모든 도형들은 3가지의 색으로 분별이 된다. 왜냐하면, 이 모든 도형들 중에서 임의의 한 도형을 선택하면, 나머지의 도형들은 임의의 도형의 내부에 있는 도형들과 외부에 있는 도형들로 구분될 수가 있고, 외부에 있는 도형들을 다시 구분하면 임의의 도형의 곡선을 공유하는 도형들과 곡선에 점으로만 접하는 도형들로 구분되고, 곡선을 공유하는 도형들은 제2단계와 같이 2가지의 색으로 분별이 되기 때문이다.
제4단계 :
한 폐곡선이 전체의 곡면을 양분하여 외부와 내부로 구분되어 있고, 양분된 한 쪽인 외부에 모양, 크기, 수, 상호간 곡선이나 점의 공유 여부에 제한 없이 도형들을 그리되, 이 모든 도형들의 곡선이 반드시 전체의 곡면을 양분하고 있는 폐곡선의 일부를 공유하도록 그리게 되면, 이 모든 도형들은 3가지의 색으로 분별이 된다. 왜냐하면, 이 모든 도형들이 전체의 곡면을 양분하고 있는 폐곡선과 접하는 곳에 나타나는 모든 점들을 보조 곡선들로 연장하여 내부에 정한 임의의 한 점에 연결되도록 하면, 이 때 만들어 지는 모든 도형들은 제3단계와 같이 3가지의 색으로 분별이 되기 때문이다.
제5단계 :
곡면에서 임의의 한 도형의 폐곡선을 공유하는 모든 도형들은 제4단계와 같이 3가지의 색으로 분별이 됨으로, 한 도형과 이 도형의 폐곡선을 공유하는 모든 도형들, 즉 전체의 도형들은 결국 4가지의 색으로 분별이 된다.
제6단계 :
곡면에 있는 도형들 중에서, 임의의 한 도형을 선택하면, 이 도형의 폐곡선을 공유하는 도형들을 포함한 전체의 도형들은 제5단계와 같이 4가지의 색으로 분별이 된다. 이 때 임의의 한 도형의 폐곡선은 공유하지 않고, 임의의 도형의 폐곡선의 일부를 공유하고 있는 도형들의 폐곡선의 일부를 공유하는 또 다른 하나의 도형을 선택하여도, 이 모든 도형들은 역시 4가지의 색으로 분별이 된다.
제7단계 :
제6단계에서 선택한 또 다른 하나의 도형과 이 도형의 폐곡선의 일부를 공유하는 모든 도형들, 그리고 계속 반복하여 같은 방법으로 다시 선택한 또 다른 도형을 포함한 모든 도형들도 4가지의 색으로 분별된다. 따라서 곡면의 모든 도형들은 4가지의 색으로 분별되는 것이다. 증명 끝.    2003.  06.  30.
           이      재       율        이      유       진
HereNow 
안녕하세요.
먼저, 좋은 글 올려 주셔서 감사드립니다.
그런데 올려주신 글 내용중에 이재율님의 주민등록번호까지 밝혀 놓으셨네요.
주민등록번호는 저희가 삭제를 했습니다. 혹시나 하는 마음으로 회원님의 개인정보 보호를 위함이니 양해바랍니다. 아울러, 가급적 회원님의 주민등록번호와 같은 중요 개인정보는 이런 오픈된 게시판상에서는 공개하지 않는 것이 좋을 듯 합니다.
감사합니다.
 (2005/01/18)  
이재율 
HereNow 님의 깊은 배려에 감사드립니다. 저는 정부, 학교, 사회단체, 블로그 등의 모든 곳에 저의 신상을 밝혀 두었습니다. 아마 천여 곳은 될 것입니다. 그리고 문제가 발생될 가능성도 거의 없을 것임을 확신하고 있습니다. 보람된 삶을 누리시기 바랍니다.
 (2005/01/20)  


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